Найдите все значения а, при которых неравенство x2 + (2a-4) x+8a+1 0 не имеет решений

x^2 + (2a - 4) x + 8a + 1 = 0.

Квадратный многочлен не имеет решений, если дискриминант меньше нуля.

Выразим дискриминант:

a = 1; b = (2 а - 4); c = (8 а + 1);

D = b^2 - 4ac; D = (2 а - 4) ^2 - 4 (8 а + 1) = 4 а^2 - 16 а + 16 - 32 а - 4 = 4 а^2 - 48 а + 12.

Получается, что D < 0, 4 а^2 - 48 а + 12 < 0.

Поделим неравенство на 4: а^2 - 12 а + 3 < 0.

Рассмотрим функцию у = а^2 - 12 а + 3, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; а^2 - 12 а + 3 = 0.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = - 12; c = 3;

D = b^2 - 4ac; D = (-12) ^2 - 4 * 1 * 3 = 144 - 12 = 132 (√D = √132 = √ (4 * 33) = 2√33);

x = (-b ± √D) / 2a;

а₁ = (12 - 2√33) / 2 = 6 - √33 (~ 0,3);

а₂ = 6 + √33 (~ 11,7).

Отмечаем на числовой прямой точки (6 - √33) и (6 + √33), схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (6 - √33; 6 + √33).

Ответ: при а, принадлежащему промежутку (6 - √33; 6 + √33), многочлен не имеет решений.