образующая конуса равна 4 дм, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. вычислите площадь боковой поверхности и объем конуса

Обозначи вершину конуса буквой Р, а диаметр основания конуса - АВ. Тогда АВР - это осевое сечение конуса, представляющее собой прямоугольный треугольник с равными катетами. Найдем гипотенузу треугольника по теореме Пифагора:

АВ = √ (4² + 4²) = √32 = 4√2. Так как АВ - это диаметр, значит, радиус окружности R = 4√2/2 = 2√2 (дм).

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: S_бок = ПRL (R - радиус основания, L - образующая). Значит, S_бок = П * 2√2 * 4 = 8√2 П (дм²).

Объем конуса вычисляется по формуле: V = 1/3 * ПR² * h (h - высота конуса).

Отрезок РО будет высотой конуса. Так как РО перпендикулярно АВ, значит, треугольник РОВ - прямоугольный, РВ = 4 дм, ВО = R = 2√2, по теореме Пифагора: РО = √ (4² - (2√2) ²) = √ (16 - 8) = √8 = 2√2 (дм).

Следовательно, объем конуса равен: V = 1/3 * П * (2√2) ² * 2√2 = (16√2 П) / 3 (дм³).