Медиана прямоугольного треугольника проведенная к гипотенузе равна 14 см и образует с одним из катетов угол вдвое больше, чем с другим. Найдите катеты треугольника и высоту, проведённую к гипотенузе

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол при вершине B - прямой. Проведена медиана BO к гипотенузе.

Так как BO - медиана, то O делит гипотенузу попалам. Следовательно, точка O - центр описанной около треугольника ABC окружности с радиусом AO = BO = CO = 14.

Пусть угол ABO в два раза больше, чем CBO:

ABO = 2 * CBO.

Но ABO + CBO = 90°,

2 * CBO + CBO = 90°,

CBO = 30° V и ABO = 60°.

Треугольник CBO - равнобедренный, т. к. BO = CO.

Значит, углы CBO и OCB равны и следовательно, OCB = 30°.

Тогда

AB = AC * sin (30°) = 14 * 1 / 2 = 7 и

BC = AC * cos (30°) = 14 * √3 / 2 = 7 * √3.

Площадь ABC

S = 0,5 * AC * BC = 0,5 * 7 * 7 * √3 = 49 * √3 / 2.

Пусть высота опущенная на гипотенузу равна H. Тогда:

S = 0,5 * AC * H = 0,5 * 14 * H = 7 * H.

7 * H = 49 * √3 / 2,

H = 7 * √3 / 2.