Установите множество значений функции y=3sinx-4cosx

Требуется определить множество значений тригонометрической функции y = 3 * sinx - 4 * cosx. Как известно, для любых а и b, выражение а * sinx + b * cosx можно выразить через одну тригонометрическую функцию. В нашем примере: а = 3 и b = - 4. Следуя теории, сначала вычислим: √ (а² + b²) = √ (3² + (-4) ²) = √ (9 + 16) = 5. В формуле y = 3 * sinx - 4 * cosx данной функции выведем за скобки множитель 5. Тогда, имеем: у = 5 * ((3/5) * sinx - (4/5) * cosx). Заметим, что в получившемся выражении при синусе и косинусе получились новые коэффициенты a/c и b/c, где с = 5. Примем a/c за cost, тогда b/c за sint. Тогда, получится: у = 5 * (sinx * cost + cosx * sint). Если приглядеться, можно увидеть в скобках формулу, схожую с формулой sin (α + β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ (синус суммы). Свернув, получим у = 5 * sin (x + t). Таким образом, из y = 3 * sinx - 4 * cosx мы получили более простое у = 5 * sin (x + t). Этот вид функции, независимо от аргумента, согласно свойствам синус-функции и неравенств, позволит утверждать, что - 5 ≤ у ≤ 5, так как, для любого α, справедливо - 1 ≤ sinα ≤ 1. Итак, множеством значений функции y = 3 * sinx - 4 * cosx является множество [-5; 5].

Ответ: у ∈ [-5; 5].