Докажите, что при любых значениях x и y имеет место неравенство x^2 + 10y^2 - 6xy + 10 x - 26 y + 30 >0

x² + 10y² - 6xy + 10x - 26y + 30 > 0.

Вынесем у подчеркнутых одночленов общий множитель (-2 х).

x² + 10y² - 2x (3y - 5) - 26y + 30 > 0.

Добавим взаимно противоположные числа для удобства группировки:

x² - 2x (3y - 5) + (3y - 5) ² - (3y - 5) ² + 10y² - 26y + 30 > 0.

Сворачиваем первые три члена по формуле квадрата разности:

(x - (3y - 5)) ² - (3y - 5) ² + 10y² - 26y + 30 > 0.

Раскрываем лишние скобки:

(x - 3y + 5) ² - (9y² - 30y + 25) + 10y² - 26y + 30 > 0.

(x - 3y + 5) ² - 9y² + 30y - 25 + 10y² - 26y + 30 > 0.

Подводим подобные слагаемые:

(x - 3y + 5) ² + y² + 4 у + 5 > 0.

Представим 5 как 4 + 1.

(x - 3y + 5) ² + y² + 4 у + 4 + 1 > 0.

Сворачиваем по формуле квадрата суммы:

(x - 3y + 5) ² + (y + 2) ² + 1 > 0.

Квадрат любого числа положительный, 1 тоже положительное число, сумма трех положительных чисел всегда будет больше нуля при любом х и у.