Докажите что число 3+3^2 + ... + 3^120 делится на 5

Число слагаемых - 120 - делится на 4, что позволяет образовать группы по 4 слагаемых:

(3 + 3^2 + 3^3 + 3^4) + (3^5 + 3^6 + 3^7 + 3^8) + ... + 3^120

Из каждой группы вынесем множитель: из первой 3, из второй 3^5 и далее с увеличением степени на 4:

3 * (1 + 3 + 3^2 + 3^3) + 3^5 * (1 + 3 + 3^2 + 3^3) + ... + 3^120 ...

Из каждой группы образовалось произведение с постоянным множителем (1 + 3 + 3^2 + 3^3) = 40.

Этот множитель можно вынести за скобки. Получится произведение:

40 * (3 + 3^5 + 3^9 + ...3^116).

Поскольку первый множитель делится на 5, то значение всего выражения тоже будет делиться на 5.