Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна 3. Найдите косинус угла, который образует боковая грань с основанием пирамиды

Пусть МАВС - данная пирамида (АВС - основание), АВ = ВС = АС = 6, высота МО = 3.

Проведем высоту основания СН, точка О будет лежать на этой высоте (так как СН - высота в равностороннем треугольнике).

Треугольник АСН - прямоугольный, по теореме Пифагора:

СН² = АС² - АН², АН = 1/2 АВ (так как высота в равностороннем треугольнике является и медианой).

СН² = 6² - 3² = 36 - 9 = 27.

СН = √27 = 3√3.

СО относится к ОН как 2 : 1 (СО - радиус описанной окружности правильного треугольника, ОН - радиус вписанной окружности).

Значит, СО = 2/3 СН = 2/3 * 3√3 = 2√3.

Треугольник МОС - прямоугольный. МО - высота пирамиды, МО = 3, СО = 2√3, вычислим длину ребра пирамиды по теореме Пифагора:

МС² = МО² + СО² = 3² + (2√3) ² = 9 + 12 = 21.

МС = √21.

МН - высота в равнобедренном треугольнике АМВ, по теореме Пифагора:

МН² = МА² - АН² = (√21) ² - 3² = 21 - 9 = 12.

МН = √12 = 2√3.

В треугольнике МНО: угол О равен 90°, НО = 1/3 СН = 1/3 * 3√3 = √3. МН = 2√3.

Угол МНО - искомый угол между боковой гранью пирамиды и основанием, найдем его косинус:

ОН/МН = √3/2√3 = 1/2.

Ответ: косинус угла между боковой гранью и основанием пирамиды равен 1/2.