а и б действительные числа разность которых делится на 11. Докажите, что число (а^2+b^2) ^2+7a^2b^2 тоже делится на 11

Question

Алексей Щербаков

Математика

28 сентября, 14:07

а и б действительные числа разность которых делится на 11. Докажите, что число (а^2+b^2) ^2+7a^2b^2 тоже делится на 11

+3

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Ксения Соколова · Answer 1

Дано: (a - b) = 11 * k, то есть кратно 11.

Для доказательства деления на 11 выражения (а ^ 2 + b ^ 2) ^2 + 7a ^ 2 * b ^ 2 возведём скобку в квадрат и приведём подобные члены, а также приведём к виду (a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2. Для чего прибавим и вычтем (2 * a ^ 2 * b ^ 2).

(a ^ 4 + 2 * a ^ 2 * b ^ 2 - 2 * a ^ 2 * b ^ 2 + b ^ 4) + 2 * a ^ 2 * b ^ 2 + 7 * a ^ 2 * b ^ 2 =

(a ^ 4 - 2 * a ^ 2 * b ^ 2 + b ^ 4) + 2 * a ^ 2 * b ^ 2 + 2 * a ^ 2 * b ^ 2 + 7 * a ^ 2 * b ^ 2 = (a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 + 11 * a ^ 2 * b ^ 2 =

(a - b) ^ 2 * (a + b) ^ 2 + 11 * a ^ 2 * b ^ 2.

(11 * к) ^ 2 * (a + b) ^ 2 + 11 * a ^ 2 * b ^ 2.

В результате получили 2 слагаемых, каждое из которых кратно 11.

Значит, и сумма кратна 11. Что и требовалось доказать.