Докажите, что среди любых 7 целых чисел найдутся одно или несколько, сумма которых делится на 7.

Пусть задана последовательность 7 целых чисел:

ai, i = 1, 2, ..., 7.

И пусть:

si, i = 1, 2, ..., 7 - сумма первых i чисел этой последовательности.

Если одно из семи чисел si делится на 7, то условие задачи выполнено, и утверждение тем самым доказано. Если же нет, то, поскольку чисел всего семь, а остатков - шесть, среди них найдутся хотя бы два числа si и sj (i < j) с равными остатками. Тогда их разность, равная сумме:

sj - si = a[i + 1] + ... + a[j],

будет делиться на 7.

Что и требовалось доказать.