Решите уравнение cos2x=cosx-1. Найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку [0; 2 п]. Правильный ответ 4 п.

cos 2x = cos² x - sin² x = cos² x - (1 - cos² x) = 2cos² x - 1.

Тогда уравнение cos 2x = cos x - 1 равносильно 2cos² x - 1 = cos x - 1, что равносильно:

2cos² x - cos x = 0.

Отсюда cos x * (2cos x - 1) = 0, то есть cos x = 0 или cos x = 1/2.

В первом случае x = 2 * п * k, где k - целое.

Во втором случае x = ±arccos (1/2) + 2 * п * k = ±п/3 + 2 * п * k, где k - целое.

На участке [0; 2 п] корнями уравнения являются x = 0; x = п/3; x = 2 п - п/3; x = 2 * п.

Таким образом, сумма корней уравнения, принадлежащих участку [0; 2 п] равна:

0 + п/3 + 2 п - п/3 + 2 * п = 2 п + 2 п = 4 п.

Ответ: 4 п.