Дан многочлен x * (x+1) * (x+2) * (x+3). Найти его найменьшее значение

Поменяем местами скобки:

x * (x + 3) * (x + 1) * (x + 2).

Раскрываем скобки попарно:

x (x + 3) * (x + 1) (x + 2) = (х² + 3x) (х² + 3 х + 2).

Введем новую переменную, пусть х² + 3 х = а.

Получается выражение: а (а + 2) = а² + 2 а.

Приведем данной выражение к полному квадрату:

а² + 2 а = а² + 2 а + 1 - 1 = (а + 1) ² - 1.

Так как минимальное значение квадрата - это ноль (квадрат отрицательным не может быть), то минимальное значение данного выражения будет равно - 1.

Проверим, будет ли иметь уравнение корни:

а + 1 = 0; а = - 1.

х² + 3 х = - 1; х² + 3 х + 1 = 0; D = 9 - 4 = 5 (D > 0, корни есть).

Ответ: минимальное значение выражения равно - 1.