В выпуклом четырехугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD равна 1. Прямые BC и AD перпендикулярны. Найдите длмну отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BD

Решение:

1) Пусть O - середина стороны AB, а точка L представляет собой середину стороны CD, данного нам в условии, выпуклого четырёхугольника ABCD.

2) Пусть точка I - это середина диагонали AC четырехугольника ABCD, а точка V - середина диагонали BD. Тогда получаем, что OI - средняя линия треугольника ABC (по определению средней линии), а LV - средняя линия треугольника DBC (по определению).

3) Получаем: OI = BC = LV и OI || BC || LV.

4) Исходя из пункта 3 получаем, что четырёхугольник OILV является параллелограммом. Стороны OI и OV параллельны прямым BC и AD, поэтому OI перпендикулярно OV. Следовательно, четырёхугольник OILV - прямоугольник (по свойству). Диагонали прямоугольника равны (по свойству), поэтому IV = OL = 1.