Среднее арифметическое первого и третьего членов некоторой геометрической прогрессии на 4 больше второго члена этой прогрессии. Разность между вторым и первым сленом прогрессии равна 4. Найти шестой член прорессии

Обозначим первый член данной геометрической прогрессии буквой b, а знаменатель прогрессии буквой q.

Тогда второй член прогрессии будет иметь вид: b2 = b * q, а третий, соответственно, b3 = b * q²

По условию задачи разность второго и первого членов равна 4, значит:

b * q - b = 4,

b * (q - 1) = 4,

b = 4 / (q - 1), q не равно 1.

Среднее арифметическое первого и третьего членов на 4 больше, чем второй член прогрессии:

(b + b * q²) / 2 = b * q + 4,

b + b * q² - 2 * b * q = 8,

b * q² + b * (1 - 2 * q) = 8.

Подставим в это уравнение выражение b:

4 * q² / (q - 1) + 4 * (1 - 2 * q) / (q - 1) = 8,

4 * q² + 4 - 8 * q = 8 * (q - 1),

4 * q² - 16 * q + 12 = 0,

q² - 4 * q + 3 = 0.

Найдем дискриминант: D = 4² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4, значит

q = (4 + 2) / 2 = 3 и q = (4 - 2) / 2 = 1.

Так как q не может быть равно 1, то уравнение имеет одно решение q = 3.

Теперь мы можем найти b:

b = 4 / (3 - 1) = 2.

Шестой член прогрессии будет равен:

b6 = 2 * 3⁵ = 2 * 243 = 486.

Ответ: b6 = 486.