1. Найдите все значения a при которых квадратное уравнение x^2+ax+8=0 имеет два различных вещественных корня, лежащих строго между 0 и 3

Рассмотрим квадратное уравнение:

x^2 + a * x + 8 = 0.

Дискриминант D = a^2 - 4 * 8 = a^2 - 32.

Чтобы уравнение имело 2 корня, необходимо, чтобы дискриминант был не отрицательным:

D > = 0,

a^2 - 32 > = 0,

a^2 > = 32,

a > = √32 = 4 * √2 или a < = - √32 = - 4 * √2.

Корни уравнения:

x1 = - a - √a^2 - 32,

x2 = - a + √a^2 - 32.

Заметим, что x1 < = x2. Для выполнения условия задачи необходимо:

0 < x1,

x2 < 3.

0 < - a - √a^2 - 32,

√a^2 - 32 < - a, a < = 0,

a^2 - 32 < a^2, - 32 < 0.

Неравенство выполняется при любом a < = - 4 * √2.

- a + √a^2 - 32 < 3,

√a^2 - 32 = 0, a > = - 3,

a^2 - 32 < a^2 + 6 * a + 9,

- 42 < 6 * a,

- 7 < a.

Неравенство выполняется при a > = 4 * √2.

Ответ: a = 4 * √2.