На кривой f (x) = (x-1) ^2 (x-3) ^2 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой у=5-12 х

Имеем функцию:

y = (x - 1) ^2 * (x - 3) ^2.

Для начала найдем производную функции - будем ее определять как производную произведения двух сложных функций:

y' = 2 * (x - 1) * (x - 3) ^2 + (x - 1) ^2 * 2 * (x - 3);

Вынесем общий множитель:

y' = (x - 1) * (x - 3) * (2 * x - 6 + 2 * x - 2);

y' = (x - 1) * (x - 3) * (4 * x - 8);

y' = 4 * (x - 1) * (x - 2) * (x - 3).

Так как касательная параллельна прямой, их угловые коэффициенты равны, то есть значение производной функции равно - 12.

(x - 1) * (x - 2) * (x - 3) = - 3;

(x^2 - 3 * x + 2) * (x - 3) = - 3;

x^3 - 3 * x^2 + 2 * x - 3 * x^2 + 9 * x - 6 + 3 = 0;

x^3 - 6 * x^2 + 11 * x - 3 = 0;

x = 0,328;

y = 0,672^2 * 2,672^2 = 0,452 * 7,14 = 3,23.