Решить уравнение, используя разложение на множители x^5+x^4-6x^3-6x^2+8x+8=0

Разложим многочлен на множители методом группировки.

x⁵ + x⁴ - 6x³ - 6x² + 8x + 8 = 0.

Вынесем у первой пары одночленов общий множитель х⁴, у второй пары - (-6 х²), у третьей пары - число 8.

х⁴ (х + 1) - 6 х² (х + 1) + 8 (х + 1) = 0.

Теперь вынесем общий множитель (х + 1):

(х + 1) (х⁴ - 6 х² + 8) = 0.

Произведение двух скобок равно нулю, когда одна из них равна нулю.

х + 1 = 0; х = - 1.

Или х⁴ - 6 х² + 8 = 0.

Получилось биквадратное уравнение, введем новую переменную, пусть х² = a.

a² - 6 а + 8 = 0.

По теореме Виета корни равны 4 и 2.

Вернемся к замене х² = a.

а = 4; х² = 4; х = ±√4; х = ±2.

а = 2; х² = 2; х = ±√2.

Ответ: корни уравнения равны - 2, - √2, - 1, √2 и 2.