Cos2x=sin (x+π/2), [-2π; - π] решите уравнение и найдите корни уравнения, принадлежащие указанному промежутку

Задействуем формулу двойного аргумента для косинуса:

cos^2 (x) - sin^2 (x) = - cos (x).

Обратимся к следствию из основного тригонометрического тождества:

cos^2 (x) - 1 + cos^2 (x) = - cos (x);

2cos^2 (x) + cos (x) - 1 = 0.

Произведем замену t = cos (x):

2t^2 + t - 1 = 0.

t12 = (-1 + - √ (1 - 4 * 2 * (-1)) / 2 * 2 = (-1 + - 3) / 4.

t1 = (-1 - 3) / 4 = - 1; t2 = (-1 + 3) / 4 = 1/2.

Производим обратную замену:

cos (x) = - 1;

x1 = arccos (-1) + - 2 * π * n, где n натуральное число;

x1 = π + - 2 * π * n.

x2 = arccos (1/2) + - 2 * π * n.