На доске выписана последовательность из 2004 цифр. Любая пара соседних цифр в этой последовательности образует двузначное число, которое делится на 17 или 23. Известно, что последней цифрой является 7. Найдите первую цифру.

Для того, чтобы решить эту задачу, нужно найти первую цифру:

1) Двузначные числа, которые делятся на 17: 17, 34, 51, 68, 85.

2) Двузначные числа, которые делятся на 23: 23, 46, 69, 92.

3) Так как последняя цифра - 7, то перед ней будет 1, перед 1 будет 5, перед 5 - 8.

4) Цифры, которые повторяются: перед 8 - 6, перед 6 - 4, перед 4 - 3, перед 3 - 2, перед 2 - 9, перед 9 - 6, а потом все повторяется.

5) То есть последовательность должна выглядеть так: (9 2 3 4 6) ... (9 2 3 4 6) 8 5 1 7.

6) (9 2 3 4 6) - повторяющаяся группа из пяти цифр, и в конце идут четыре цифры: 8 5 1 7.

7) Не считая последних четырех цифр, в последовательности: 2004 - 4 = 2000 цифр.

8) Таких повторяющихся групп есть равно: 2 000/5 = 400 шт.

9) Значит, последовательность начинается с цифры 9.

Ответ: 9.