Не решая уравнения 3x^2+3x-1=0, найдите 1. x1^2*x2+x1*x^2 2. x1^2+x2^2 3. x1^3+x2^3 4. x1^4+x2^4

Из теоремы Виета известно, что для корней x1 и x2 квадратного уравнения

x^2 + p * x + q = 0

выполняются условия:

x1 + x2 = - p

x1 * x2 = q;

Приведем заданное уравнение к данному виду:

x^2 + x - 1/3 = 0;

Для этого уравнения

x1 + x2 = - 1;

x1 * x2 = - 1/3;

Найдем значения искомых выражений после простых преобразований:

1.

x1^2 * x2 + x1 * x2^2 = x1 * x2 * (x1 + x2) = - 1/3 * (-1) = 1/3;

2.

x1^2 + x2^2 = (x1 + x2) ^2 - 2 * x1 * x2 = (-1) ^2 - 2 * (-1/3) = 1 + 2/3 = 5/3;

3.

x1^3 + x2^3 = (x1 + x2) * (x1^2 - x1 * x2 + x2^2) = - 1 * (x1^2 + 2 * x1 * x2 + x2^2 - 3 * x1 * x2) =

= - [ (x1 + x2) ^2 - 3 * (-1/3) ] = - (1 + 1) = - 2;

4.

Для вычисления значения x1^4 + x2^4 воспользуемся равенством

(a + b) ^4 = a^4 + b^4 + 6 * a^2 * b^2 + 4 * a^3 * b + 4 * a * b^3;

и уже вычисленным значением в пункте 2 выражения x1^2 + x2^2 = 5/3:

x1^4 + x2^4 =

(x1 + x2) ^4 - 6 * (x1 * x2) ^2 - 4 * x1 * x2 * (x1^2 + x2^2) =

(-1) ^4 - 6 * (-1) ^2 - 4 * (-1) * 5/3 = 1 - 6 + 20/3 = 5/3.