1) Какое значение а нужно, чтобы уравнение а²х - 2 а²=49 х+14 а имело один корень? 2) При каком значении а сумма корней уравнения х² - (а²-17 а+83) х-21=0 будет наименьшей?

1) а^2x - 2a^2 = 49x + 14a. Перенесем все слагаемые в левую часть: а^2x - 2a^2 - 49x - 14a = 0. Используем группировку: x (a^2 - 49) - 2a (a + 7) = 0. Упрощаем: x (a - 7) (a + 7) - 2a (a + 7) = 0 или x (a - 7) (a + 7) = 2a (a + 7).

2) 1 случай (a = 7) : 0 = 196 - не верно. Нет решений.

2 случай (a = - 7) : 0 = 0 - верно. Бесконечное множество решений.

3 случай (все остальные варианты). Первым шагом разделим обе части на следующее произведение: (a + 7) (a - 7). Получаем: x = 2a / (a - 7). Значит корень один.

Значит решением будут все значения, кроме - 7 и 7.

2) x^2 - (а^2 - 17a + 83) x - 21 = 0

1) D = (а^2 - 17a + 83) ^2 - 4 * 1 * (-21) = (а^2 - 17a + 83) ^2 + 84 > 0.

2) x1 + x2 = а^2 - 17a + 83.

Ищем производную, приравненную к 0: (а^2 - 17a + 83) ' = 0; 2a - 17 = 0.

Минимальное значение а равно 8,5.