Найдите наименьшее значение 4x^2-2x+5

1. Первый метод. Выделение полного квадрата двучлена.

y = 4x^2 - 2x + 5;

y = 4x^2 - 2x + 1/4 - 1/4 + 5;

y = (2x - 1/2) ^2 + 19/4.

Квадрат всегда больше или равен нулю, поэтому наименьшее значение функции:

y (min) = 0 + 19/4 = 19/4.

2. Второй метод. Нахождение точек экстремума.

y = 4x^2 - 2x + 5;

y' = 8x - 2 = 2 (4x - 1);

y' = 0;

4x - 1 = 0;

4x = 1;

x = 1/4, точка минимума, т. к. первый коэффициент трехчлена больше нуля.

y (min) = y (1/4) = 4 * (1/4) ^2 - 2 * 1/4 + 5 = 1/4 - 1/2 + 5 = 20/4 - 1/4 = 19/4.

Ответ: 19/4.