Решить уравнение: 125*2 (в степени 4 х) - 9*20 (в степении х+1) + 64*25 (в степени х) = 0

125 * 2^{4 х} - 9 * 20 ^{(х + 1)} + 64 * 25^х = 0.

Преобразуем основания степени:

24 х = (2²) ^{2 х} = 4^{2 х}.

20 ^{(х + 1)} = 20^х * 20 = (4 * 5) ^х * 20 = 4^х * 5^х * 20.

25 х = (5²) ^х = 5^{2 х}.

Получается уравнение: 125 * 4^{2 х} - 9 * 4^х * 5^х * 20 + 64 * 5^{2 х} = 0.

125 * 4^{2 х} - 180 * 4^х * 5^х + 64 * 5^{2 х} = 0.

Поделим уравнение на 5^{2 х}:

125 * (4/5) ^{2 х} - 180 * (4/5) ^х + 64 = 0.

Введем новую переменную, пусть (4/5) ^х = а.

125 а² - 180 а + 64 = 0.

D = (-180) ² - 4 * 125 * 64 = 32400 - 32000 = 400 (√D = 20);

а₁ = (180 - 20) / 250 = 160/250 = 16/25.

а₂ = (180 + 20) / 250 = 200/250 = 4/5.

Вернемся к замене (4/5) ^х = а.

а = 16/25; (4/5) ^х = 16/25; (4/5) ^х = (4/5) ²; х = 2.

а = 4/5; (4/5) ^х = 4/5; (4/5) ^х = (4/5) ¹; х = 1.

Ответ: корни уравнения равны 1 и 2.