Найти наименьшее значение суммы кубов двух положительных чисел, если сумма их квадратов равна 50.

Пусть первое из указанных числе равно х. Второе число можно найти, зная сумму их квадратов, и то, что оба числа положительные. Второе число равно √ (50 - х²).

Тогда сумма кубов этих двух чисел равна y = x³ + (√ (50 - х²)) ³.

Найдем такое значение х, при котором y (х) минимально. Для этого вычислим производную y (x).

y' (x) = (x³ + (√ (50 - х²)) ³) ' = (x³) ' + (√ (50 - х²) ³) ' = 3x² + 3/2 ⋅ √ (50 - x²) ⋅ (50 - x²) ' =

= 3x² + 3/2 ⋅ √ (50 - x²) ⋅ (-2x) = 3x² - 3x√ (50 - x²) = 3x ⋅ (x - √ (50 - x²)).

y' (x) = 0 при x = 0, что не удовлетворяет условию положительности чисел, а также при:

x = √ (50 - x²), то есть при x² = 50 - x², что равносильно 2x² = 50, то есть x = √25 = 5.

при 0 < x < 5: y' (1) = 3 ⋅ 1 ⋅ (1 - √ (50 - 1)) = 3 ⋅ (1 - √49) = 3 ⋅ (1 - 7) < 0.

при x > 5: y' (7) = 3 ⋅ 7 ⋅ (7 - √ (50 - 49)) = 21 ⋅ (7 - √1) = 21 ⋅ 6 > 0.

То есть на участке 0 < x 5 y (x) возрастает, и таким образом, при х = 5 y (x) является минимальным.

5³ + (√ (50 - 5²)) ³ = 125 + (√ (50 - 25)) ³ = 125 + √25³ = 125 + 5³ = 125 + 125 = 250.

Ответ: 250.