Докажите что: 9 в 99 степени + 9 в 100 степени+9 в 101 степени делится на 91

Разложим число 91 на простые множители: 91 = 7 * 13.

Таким образом, чтобы доказать утверждение из задачи, мы должны доказать делимость выражения 9^99 + 9^100 + 9^101 на 7 и 13 одновременно.

Выясним, какие остатки даёт 9^n при делении на 7 и 13.

9 = 7 * 1 + 2,

9^2 = 7 * 11 + 4,

9^3 = 9 * (7 * 11 + 4) = 7 * 9 * 11 + 36 = 7 * 105 + 1,

9^4 = 9 * (7 * 105 + 1) = 7 * (9 * 105 + 1) + 2 ...

Таким образом, 9^n, n = 1, 2, 3, ... при делении на 7 даёт в остатке периодические значения 2, 4, 1, 2, 4, 1, ...

Аналогично, можно показать, что остатки при делении 9^n на 13 даёт в остатке периодические значения 9, 3, 1, 9, 3, 1, ...

Следовательно, имеем:

9^99 + 9^100 + 9^101 = 7 * m + 1 + 7 * m1 + 2 + 7 * m2 + 4 =

= 7 * (m + m1 + m2 + 1) делится на 7.

9^99 + 9^100 + 9^101 = 13 * m + 1 + 13 * m1 + 9 + 13 * m2 + 3 =

= 13 * (m + m1 + m2 + 1) делится на 13.

Мы доказали делимость выражения на 7 и на 13, что и требовалось доказать.