Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=2 х в квадрате и у=х+1

Найдем точки пересечения графиков функций, для этого приравняем их формулы друг к другу:

2x^2 = x + 1;

2x^2 - x - 1 = 0;

x12 = (-2 + - √ (1 - 4 * 2 * (-1)) / 4 = (-2 + - 3) / 4;

x1 = 1/4; x2 = - 5/4.

Тогда площадь S фигуры ограниченная графиками будет равна разности интегралов:

S = -∫ (x + 1) * dx|-5/4; 1/4 + ∫2x^2 * dx|-5/4; 1/4 = - (1/2x^2 + x) |-5/4; 1/4 + 2/3 * x^3| - 5/4; 1/4 = - (1/16 + 1/4 - 25/32 + 5/4) + (2/3 * 1/64 - 2/3 * 625/64) = - 7/32 + 2/3 * 624/64 = - 21 / 32 * 3 + 624 / 3 * 32 = 201/32.