Решите уравнение: 7+4sinx*cosx+1.5 (tgx+ctgx) = 0

Выполним преобразование в скобках;

7 + 4sinxcosx + 1,5 (tgx + сtgx) = 0;

tgx + сtgx = sinx/cosx + cosx/sinx = sinx/cosx * sinxcosx/sinxcosx + cosx/sinx * sinxcosx/sinxcosx = (sin²x + cos²x) / cosxsinx = 1 / sinxcosx;

Подставим полученное значение:

7 + 4sinxcosx + 1,5 (1 / sinxcosx) = 0;

7 + 4sinxcosx + 1,5/sinxcosx = 0;

Выполним замену sinxcosx = t:

7 + 4t + 1.5/t = 0;

(4t² + 7t + 1.5) / t = 0;

4t² + 7t + 1.5 = 0;

Определим дискриминант квадратного уравнения:

D = b² - 4ac = 7² - 4 * 4 * 1.5 = 49 - 24 = 25;

t1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 7 - √25) / 2 * 4 = ( - 7 - 5) / 8 = - 12 / 8 = - 3/2;

t2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 7 + √25) / 2 * 4 = ( - 7 + 5) / 8 = - 2 / 8 = - 1/4;

1) Eсли t1 = - 3/2:

sinxcosx = - 3/2;

Умножим на 2:

2sinxcosx = - 3/2;

Формула двойного аргумента:

sin2x = - 3/2, не имеет решений, так как |sin2x| < 1;

2) Eсли t = - 1/4:

sinxcosx = - 1/4;

Умножим на 2:

2sinxcosx = - 1/2;

Формула двойного аргумента:

sin2x = - 1/2;

2x = ( - 1) n arcsin ( - 1/2) + πn, n ∈ Z;

Так как аргумент отрицательный, значит:

2x = - ( - 1) n arcsin (1/2) + πn, n ∈ Z;

2x = - ( - 1) ⁿ π/6 + πn, n ∈ Z;

x = - ( - 1) ⁿ π/12 + π/2 * n, n ∈ Z;

Ответ: x = - ( - 1) ⁿ π/12 + π/2 * n, n ∈ Z.