Составьте уравнения касательных к графику функции y=x^4 - 2x^2 - 8 в точках его пересечения с осью абсцисс. Найдите точку пересечения этих касательных.

y = x^4 - 2x^2 - 8.

Найдем координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс (х).

x^4 - 2x^2 - 8 = 0.

Произведем замену: а = x^2, a^2 = x^4.

a^2 - 2 а - 8 = 0.

Дискриминант:

D = 2^2 - 4 * (-8) = 4 + 32 = 36.

a1 = (2 + √36) / 2 = (2 + 6) / 2 = 8/2 = 4.

a2 = (2 - √36) / 2 = (2 - 6) / 2 = - 4/2 = - 2 - данное значения не подходит, потому что x^2 не может быть ниже нуля.

x^2 = 4 ⇒ х1 = 2, х2 = - 2.

Уравнение касательной:

у = f (x0) + f ' (x0) (x - x0).

1. x0 = x1 = 2.

f (x0) = 2^4 - 2 * (2^2) - 8 = 16 - 8 - 8 = 0.

f ' (x) = 4x^3 - 4x.

f ' (x0) = 4*8 - 4*2 = 32 - 8 = 24.

Уравнение касательной:

у1 = 24 (x - 2) = 24 х - 48.

2. x0 = x1 = - 2.

f (x0) = (-2) ^4 - 2 * ((-2) ^2) - 8 = 16 - 8 - 8 = 0.

f ' (x) = 4x^3 - 4x.

f ' (x0) = 4 * (-8) - 4 * (-2) = - 32 + 8 = - 24.

Уравнение касательной:

у2 = - 24 (x + 2) = - 24 х - 48.

3. Чтобы найти точку пересечения касательных у1 = 24 х - 48 и у2 = - 24 х - 48, приравняем их правые части и найдем координату х:

24 х - 48 = - 24 х - 48;

24 х + 24 х = - 48 + 48;

48 х = 0;

х = 0/48;

х = 0.

у1 = 24*0 - 48 = 0 - 48 = - 48.

Ответ: (0; - 48).