ctg x + x^2 + x > ctg x + 6

Переносим все члены неравенства в левую часть:

ctg (x) + x^2 + x - ctg (x) - 6 > 0;

x^2 + x - 6 > 0.

Найдем корни уравнения x^2 + x - 6 = 0. Корни квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 определяются по формуле: x12 = (-b + - √ (b^2 - 4 * a * c) / 2 * a.

x12 = (-1 + - √ (1 - 4 * 1 * (-6)) / 2 * 1 = (-1 + - 5) / 2.

x1 = (-1 - 5) / 2 = - 3; x2 = (-1 + 5) / 2 = 2.

Тогда неравенство будет иметь следующий вид:

(x - 2) * (x + 3) > 0.

Методом интервалов, получим ответ: x принадлежит интервалам от минус бесконечности до - 3 и от 2 до бесконечности.