Как решать? Log4 (x+2) * Logx 2 = 1

В задании дано логарифмическое уравнение log₄ (х + 2) * log_х2 = 1, которого решим по требованию задания. Прежде всего, заметим, что данное уравнение, согласно определения логарифма, имеет смысл только для тех х, для которых справедливы неравенства: х + 2 > 0, x > 0 и x ≠ 1. Все эти неравенства справедливы, если х ∈ М, где М = (0; 1) ∪ (1; + ∞). Используя формулу log_ab = (log_cb) / (log_ca), где а > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1, перепишем данное уравнение, переведя логарифмы на основание 2. Тогда, имеем: (log₂ (х + 2)) / (log₂4)) * ((log₂2) / (log₂х)) = 1. Очевидно, что log₂2 = 1 и log₂4 = 2. Следовательно, (log₂ (х + 2) * 1) / (2 * log₂х) = 1, откуда log₂ (х + 2) = 2 * log₂х. Применяя формулу log_abⁿ = n * log_ab, где а > 0, a ≠ 1, b > 0, n - любое число, получим: log₂ (х + 2) = log₂х², откуда х + 2 = х². Ясно, что последнее уравнение является квадратным уравнением вида х² - х - 2 = 0, дискриминант которого равен D = (-1) ² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9. Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня: x₁ = (1 - √ (9)) / (2 * 1) = (1 - 3) / 2 = - 2/2 = - 1 и x₂ = (1 + √ (9)) / (2 * 1) = (1 + 3) / 2 = 4/2 = 2. Поскольку х = - 1 ∉ М, то этот корень квадратного уравнения отнесём к побочным корням - он не может являться решением данного уравнения. Решением данного уравнения является х = 2 ∈ М.

Ответ: х = 2.