Известно, что a/b+b/a=4. Найдите a2b2/a4+b4

Прежде всего, отметим, что данное равенство и выражение, которого обозначим через А = (a² * b²) / (a⁴ + b⁴), имеет смысл, только при а ≠ 0 и b ≠ 0. Обе части известного равенства a / b + b / a = 4 возводим в квадрат. Тогда, используя формулу сокращенного умножения (a + b) ² = a² + 2 * a * b + b² (квадрат суммы), получим: (a / b + b / a) ² = 4² или (a / b) ² + 2 * (a / b) * (b / a) + (b / a) ² = 16, откуда а² / b² + b² / а² = 16 - 2 = 14. Значит, а² / b² + b² / а² = 14. Вычислим левую часть (точнее, выполним сложение двух дробей) полученного равенства. Имеем а² / b² + b² / а² = (а² * а² + b² * b²) / (а² * b²) = (a⁴ + b⁴) / (a² * b²). Нетрудно заметить, что полученное выражение (дробь) и выражение А являются взаимно обратными выражениями, то есть А * [ (a⁴ + b⁴) / (a² * b²) ] = 1. Следовательно, (a⁴ + b⁴) / (a² * b²) = 1 / А. Таким образом, 1 / А = 14, откуда А = 1/14.

Ответ: 1/14.