Log5 (4x+1) = 2-log5 (2x+3)

Log5 (4 * x + 1) = 2 - log5 (2 * x + 3);

ОДЗ:

{ 4 * x + 1 > 0;

2 * x + 3 > 0;

{ x > - 1/4;

x > - 3/2;

Отсюда, х > - 0.25.

Log5 (4 * x + 1) = Log5 5^2 - Log5 (2 * x + 3);

Log5 (4 * x + 1) = Log5 (5^2 / (2 * x + 3));

Log5 (4 * x + 1) = Log5 (25 / (2 * x + 3));

4 * x + 1 = 25 / (2 * x + 3);

(4 * x + 1) * (2 * x + 3) = 25;

Раскроем скобки.

4 * 2 * x * x + 4 * 3 * x + 2 * 1 * x + 3 * 1 = 25;

8 * x^2 + 12 * x + 2 * x + 3 = 25;

8 * x^2 + 14 * x + 3 = 25;

8 * x^2 + 14 * x + 3 - 25 = 0;

8 * x^2 + 14 * x - 22 = 0;

4 * x^2 + 7 * x - 11 = 0;

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = 7² - 4 * 4 * (-11) = 49 + 176 = 225;

Вычислим корни.

x ₁ = (-7 - √ 225) / (2 * 4) = (-7 - 15) / 8 = - 22/8 = - 11/4 = - 2.75 - не принадлежит х > - 0.25;

x ₂ = (-7 + √ 225) / (2 * 4) = (-7 + 15) / 8 = 8/8 = 1;

Ответ: х = 1.