Найдите седьмой член и знаменатель геометрической прогрессии с положительными членами, если: b6=9, b8=3

Дано: b_n - геометрическая прогрессия;

b₆ = 9, b₈ = 3;

Найти: b₇ - ?; q - ?

Формула члена геометрической прогрессии: b_n = b₁ * q^ (n - 1).

Выразим с помощью этой формулы шестой, седьмой и восьмой члены заданной прогрессии:

b₆ = b₁ * q^ (6 - 1) = b₁ * q^5;

b₇ = b₁ * q^ (7 - 1) = b₁ * q^6;

b₈ = b₁ * q^ (8 - 1) = b₁ * q^7.

Составим систему уравнений:

b₁ * q^5 = 9, (1)

b₁ * q^7 = 3 (2)

Из (1) уравнения выразим

b₁ = 9 / q^5;

Подставим полученное выражение во (2) уравнение системы:

9 / q^5 * q^7 = 3;

9 q^2 = 3;

q^2 = 1/3;

q = ±1 / sqrt (3).

Т. к. по условию, геометрическая прогрессия с положительными членами, значит q = 1 / sqrt (3).

Подставляем полученное значение знаменателя прогрессии q в выражение для нахождения b₁:

b₁ = 9 : (1 / sqrt (3)) ^5;

b₁ = 9 : (1 / 9 * sqrt (3)

b₁ = 81sqrt (3).

Теперь подставим полученные значения первого члена и знаменателя заданной прогрессии в формулу нахождения седьмого члена:

b₇ = b₁ * q^6 = 81sqrt (3) * (1 / sqrt (3)) ^6 = 81sqrt (3) / 27 = 3sqrt (3).

Ответ: q = 1 / sqrt (3); b₇ = 3sqrt (3).