при каких р система х^2+у^2=10 х^2+у=р имеет три решения

1. Решим систему уравнений методом подстановки:

{х^2 + у^2 = 10;

{х^2 + у = р;

y = p - x^2;

х^2 + (p - x^2) ^2 = 10;

х^2 + p^2 - 2px^2 + x^4 = 10;

x^4 + (1 - 2p) х^2 + p^2 - 10 = 0. (1)

2. Обозначим:

z = x^2;

z^2 + (1 - 2p) z + p^2 - 10 = 0. (2)

3. Уравнение (1) будет иметь три корня, если один из корней уравнения (2) ноль, а другой - положительное число:

z1 = 0; (3) z2 > 0. (4)

4. Из (3) следует:

p^2 - 10 = 0. (5)

Тогда уравнение (2) превратится в уравнение:

z^2 + (1 - 2p) z = 0;

z (z + 1 - 2p) = 0;

[z = 0;

[z + 1 - 2p = 0;

[z = 0;

[z = 2p - 1.

Второй корень уравнения:

z2 = 2p - 1 > 0. (6)

5. Из (5) и (6) следует:

{p^2 - 10 = 0;

{2p - 1 > 0;

{p^2 = 10;

{2p > 1;

{p = ± √10;

{p > 1/2;

p = √10.

Ответ: √10.