При каких a система уравнений имеет { (x-y) ^2=2 (a-7) x^2+y^2=6+3a} имеет ровно два решения?

1. Преобразуем систему методом сложения и вычитания:

{ (x - y) ^2 = 2 (a - 7);

{x^2 + y^2 = 6 + 3a; {x^2 - 2xy + y^2 = 2a - 14;

{x^2 + y^2 = 6 + 3a; {2xy = 6 + 3a - 2a + 14;

{x^2 + y^2 = 6 + 3a; {2xy = a + 20;

{x^2 + 2xy + y^2 = 6 + 3a + a + 20; { (x - y) ^2 = 2 (a - 7);

{ (x + y) ^2 = 4a + 26. { (x - y) ^2 = 2 (a - 7);

{ (x + y) ^2 = 2 (2a + 13).

2. Система имеет решение, если выражения в правой части неотрицательны:

{a - 7 ≥ 0;

{2a + 13 ≥ 0; {a ≥ 7;

{a ≥ - 13/2; a ∈ [7; ∞).

3. Пусть:

2p = √ (2 (a - 7)); 2q = √ (2 (2a + 13)).

Тогда:

{x - y = ±2p;

{x + y = ±2q.

1) 2p; 2q;

(x; y) = (q + p; q - p);

2) - 2p; 2q;

(x; y) = (q - p; q + p);

3) 2p; - 2q;

(x; y) = (-q + p; - q - p);

4) - 2p; - 2q;

(x; y) = (-q - p; - q + p).

4. Количество решений:

1) p > 0; q > 0 = > 4 решения;

2) p = 0; q = 0 = > 1 решение;

3) p = 0; q ≠ 0 или p ≠ 0; q = 0 = > 2 решения:

[{a - 7 > 0; 2a + 13 = 0;

[{a - 7 = 0; 2a + 13 > 0; [{a > 7; a = - 13/2;

[{a = 7; a > - 13/2; a = 7.

Ответ: два решения при a = 7.