Членами геометрической прогрессии с натуральным знаменателем являются натуральные числа. Сумма первых трёх членов этой прогрессии равна 31. Найдите пятый член прогрессии.

Обозначим через b1 первый член данной геометрической прогрессии, а через q знаменатель этой геометрической прогрессии.

Тогда второй и третий члены этой прогрессии будут равны:

b2 = b1 * q;

b3 = b1 * q^2.

Согласно условию задачи, сумма первых трёх членов этой прогрессии равна 3, следовательно, можем записать следующее соотношение:

b1 + b1 * q + b1 * q^2 = 31;

b1 * (1 + q + q^2) = 31.

Так как число 31 простое, а числа b1 и 1 + q + q^2 натуральные, то должно выполняться следующие равенства:

b1 = 1;

1 + q + q^2 = 31.

Из второго соотношения по теореме Виета находим q:

q^2 + q - 30 = 0;

q1 = 5;

q2 = - 6.

Так как число q натуральное, то значение q = - 6 не подходит.

Находим b5:

b5 = b1 * q^4 = 1 * 5^4 = 625.

Ответ: пятый член прогрессии равен 625.