На какое натуральное число надо разделить 180, чтобы получить остаток, равный 25% от частного?

1. Пусть X - искомое число.

Пусть K - частное от деления 180 на X.

25% - это 0,25 числа, или 25 / 100 = 1 / 4 числа.

Остаток от деления равен K / 4.

X * K + K / 4 = 180.

2. Величины X, K, 180 - целые числа.

Значит (K / 4) - целое число.

Тогда K - кратно 4 и равно: 4, 8, 16 ...

3. Проще всего решить подбором.

При K = 4:

4 * X + 4 / 4 = 180.

X = 179 / 4 - не является натуральным.

При K = 8:

8 * X + 8 / 4 = 180.

X = 178 / 8 - не является натуральным.

При K = 12:

12 * X + 12 / 4 = 180.

X = 177 / 12 - не является натуральным.

При K = 16:

16 * X + 16 / 4 = 180.

X = 176 / 16 = 11 - натуральное.

4. Далее перебирать не имеет смысла.

По свойствам деления (K / 4) должно быть меньше X.

При K > 16 не выполняется.

Таким образом 180 / 11 = 16 (остаток 4).

Ответ: На число 11.