В прямом параллелепипеде стороны основания равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60 градусов. Меньшая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол в 30 градусов. Определите его объем.

Для того чтобы решить эту задачу, нужно представить ситуацию графически и знать формулу объема параллелепипеда.

1) площадь основания: S = 8 * 15 * sin 60° = 120 * (√3/2) = 60√3 см².

2) АВСD - основание. BD - малая диагональ основания и делит основание на 2 треугольника: ΔАВD, ΔBDC.

ΔABD: по теореме косинусов найдем BD² = AB² + AD² - 2 * AB * AD * cos60° = 64 + 225 - 2 * 8 * 15 * 0,5 = 169, BD = √169 = 13.

3) Параллелепипед прямой значит ΔВВ'D - прямоугольный с острым ∠ВDD' = 30°, BB' = 0,5 * 13 = 6,5 высота параллелепипеда.

4) V = S * H, S - площадь основания параллелепипеда.

V = 60√3 * 6,5 = 390√3.

Поэтому наш ответ: 390√3 см³.