Трехзначное число оканчивается цифрой 9. Если эту цифру записать первой, то первоначальное число, умноженное на 9, будет больше на 71. Найдите новое число.

Так как трехзначное число записывается тремя цифрами, то первоначальное число обозначим как ab9 = a * 100 + b * 10 + 9. Умножив его на 9, получим:

9 * (a * 100 + b * 10 + 9) = a * 900 + b * 90 + 81.

Второе число, которое получилось путём перестановки цифры 9 в начало числа, имеет вид: 9ab = 9 * 100 + a * 10 + b.

Согласно условию, что первоначальное число, умноженное на 9, будет больше второго числа на 71, получим, что оно равно сумме второго числа и 71. Составим уравнение:

a * 900 + b * 90 + 81 = 9 * 100 + a * 10 + b + 71;

a * 900 + b * 90 + 81 - 9 * 100 - a * 10 - b - 71 = 0;

a * 890 + b * 89 - 890 = 0.

Сократив предыдущее уравнение на 89, получим:

a * 10 + b * 1 - 10 = 0;

a * 10 + b * 1 = 10.

Так как за a и b мы обозначили цифры числа, причём a не может равняться 0 (так как является первой цифрой числа), то в качестве a могут быть цифры от 1 до 9, а b - от 0 до 9.

Взяв a = 1 из крайнего уравнения получим, что b = 0. Остальные цифры не подходят, так как сумма в левой части уравнения станет больше 10.

Следовательно, первоначальное число было 109.