Решить уравнение: cosx+sinx = (sinx+cosx) ^2

1. Выделим общий множитель sinx + cosx за скобки:

cosx + sinx = (sinx + cosx) ^2; (sinx + cosx) ^2 - (sinx + cosx) = 0; (sinx + cosx) (sinx + cosx - 1) = 0. (1)

2. Сумму sinx + cosx представим в виде синуса суммы двух углов:

sinx + cosx = √2 (√2/2 * sinx + √2/2 * cosx) = √2 (cos (π/4) * sinx + sin (π/4) * cosx) = √2sin (x + π/4).

3. Подставим это значение в уравнение (1):

√2sin (x + π/4) (√2sin (x + π/4) - 1) = 0;

[√2sin (x + π/4) = 0;

[√2sin (x + π/4) = 1; [sin (x + π/4) = 0;

[sin (x + π/4) = √2/2; [x + π/4 = πk, k ∈ Z;

[x + π/4 = π/2 ± π/4 + 2πk, k ∈ Z; [x = - π/4 + πk, k ∈ Z;

[x = π/4 ± π/4 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ: - π/4 + πk; π/4 ± π/4 + 2πk, k ∈ Z.