Найдите максимум функции Y = - X^2 + 4X + 1 на отрезке [0, 5]

1) Сначала найдем производную функции у = - x^2 + 4 * x + 1.

Для вычисления производной функции, применяем формулы производной простой функции.

y ' = (-x^2 + 4 * x + 1) ' = - 2 * x + 4 * 1 + 0 = - 2 * x + 4;

2) - 2 * x + 4 = 0;

-2 * x = - 4;

2 * x = 4;

x = 4/2;

x = 2;

Так как, если производную функции приравнять к 0, то выражение имеет корень х = 2. х = 2 принадлежит отрезку [0; 5]. Значит, наибольшее значение линейной функции ищем на отрезке [0; 5] и в точке х = 2.

y (2) = - 2^2 + 4 * 2 + 1 = - 4 + 8 + 1 = 4 + 1 = 5;

y (0) = - 0^2 + 4 * 0 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1;

у (5) = - 5^2 + 4 * 5 + 1 = - 25 + 20 + 1 = - 5 + 1 = - 4;

Отсюда получаем, что наибольшее значение функции равно 5 в точке х = 2.

Ответ: у (2) = 5.