1. найдите критические точки функции f (x) = x^3-12x+1. 2. найдите максимум и минимум функции f (x) = x^3-3x^2-45x+2 на отрезке [-2; 6].

1) f (x) = x³ - 12x + 1

Критические точки - это точки, в которых производная функции равна нулю либо производной в такой точке нет.

Найдем производную и приравняем ее к нулю.

f' (x) = 3x² - 12

3x² - 12 = 0

3x² = 12

x² = 4

х = 2

х = - 2

- 2 и 2 - критические точки функции, причем - 2 является точкой максимума функции, а точка 2 - точкой минимума.

2) f (x) = x³ - 3x² - 45x + 2

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

f' (x) = 3x² - 6x - 45

3x² - 6x - 45 = 0 |: 3

x² - 2x - 15 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

D = 4 + 60 = 64 (кв. корень равен 8)

х₁ = (2 + 8) / 2 = 5

х₂ = (2 - 8) / 2 = - 3

Рассмотрим знаки производной, чтобы узнать, возрастает или убывает функция.

( - бесконечность; - 3) + функция возрастает

( - 3; 5) - функция убывает

(5; + бесконечность) + функция возрастает

Рассмотрим промежуток [-2; 6]: от - 2 до 5 функция убывает, от 5 до 6 возрастает.

Значит точка максимума на данном участке это - 2, а точка минимума 5.