Найдите значение параметра a, при котором вершина параболы y=x^2-2ax a^2-a 1 находится на наименьшем расстоянии от начала координат. Если ответ не целый, запишите его десятичной дробью, отделяя целую часть от дробной части точкой.

1. Выделим квадрат двучлена:

y = x^2 - 2ax + a^2 - a + 1; y = (x - a) ^2 + 1 - a.

2. Координаты вершины параболы:

x0 = a; y0 = 1 - a.

3. Квадрат расстояния вершины параболы до начала координат:

s^2 = x0^2 + y0^2; s^2 = a^2 + (1 - a) ^2 = a^2 + 1 - 2a + a^2 = 2a^2 - 2a + 1.

4. Наименьшее значение s будет при наименьшем значении s^2:

f (a) = 2a^2 - 2a + 1.

Точка минимума:

f' (a) = 4a - 2; 4a - 2 = 0; 4a = 2; a = 2/4 = 1/2.

Минимум функции:

fmin = f (1/2) = 2 * (1/2) ^2 - 2 * 1/2 + 1 = 2 * 1/4 - 1 + 1 = 1/2.

Ответ: при a = 1/2.