Решить уравнение: 1+сosx+tgx/2=0

1. Преобразуем уравнение по формуле:

1 + cos (2α) = 2cos^2 (α); 1 + сosx + tg (x/2) = 0; 2 сos^2 (x/2) + tg (x/2) = 0.

2. Выразим cos^2 (x/2) через tg^2 (x/2):

sin^2 (x/2) + cos^2 (x/2) = 1; tg^2 (x/2) + 1 = 1/cos^2 (x/2); cos^2 (x/2) = 1 / (1 + tg^2 (x/2)).

Получим уравнение:

2 / (1 + tg^2 (x/2)) + tg (x/2) = 0;

3. Обозначим:

tg (x/2) = z; 2 / (1 + z^2) + z = 0; 2 + (1 + z^2) z = 0; 2 + z + z^3 = 0; z^3 + z + 2 = 0; z^3 + z^2 - z^2 - z + 2z + 2 = 0; z^2 (z + 1) - z (z + 1) + 2 (z + 1) = 0; (z + 1) (z^2 - z + 2) = 0;

a) z + 1 = 0;

z = - 1;

tg (x/2) = - 1; x/2 = - π/4 + πk, k ∈ Z; x = - π/2 + 2πk, k ∈ Z.

b) z^2 - z + 2 = 0;

D = 1^2 - 4 * 2 = 1 - 8 = - 7 < 0, нет решений.

Ответ: - π/2 + 2πk, k ∈ Z.