Найти производную: y=ln X + Х²*sin 1/X

Найдём производную данной функции: y = ln x + x^2 * sin (1 / x).

Воспользовавшись формулами:

(x^n) ' = n * x^ (n-1) (производная основной элементарной функции).

(sin x) ' = cos x (производная основной элементарной функции).

(1 / x) ' = (-1 / x^2) (производная основной элементарной функции).

(ln x) ' = 1 / х (производная основной элементарной функции).

(u + v) ' = u' + v' (основное правило дифференцирования).

(uv) ' = u'v + uv' (основное правило дифференцирования).

y = f (g (x)), y' = f'u (u) * g'x (x), где u = g (x) (основное правило дифференцирования).

И так, найдем поэтапно производную:

1) (ln x) ' = (1 / х);

2) (x^2) ' = 2 * x^ (2 - 1) = 2 * x^1 = 2 * x = 2x;

3) (sin (1 / x)) ' = (1 / x) ' * (sin (1 / x)) ' = (-1 / x^2) * (cos (1 / x)) = (-cos (1 / x)) / x^2.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y' = (ln x + x^2 * sin (1 / x)) ' = (ln x) ' + (x^2 * sin (1 / x)) ' = (ln x) ' + ((x^2) ' * sin (1 / x)) + (x^2 * (sin (1 / x)) ' = (1 / х) + 2x * sin (1 / x) + x^2 * (-cos (1 / x)) / x^2 = (1 / х) + 2x * sin (1 / x) - (cos (1 / x)).

Ответ: y' = (1 / х) + 2x * sin (1 / x) - (cos (1 / x)).