Сумма первых трех членов убывающей геометрической прогрессии равна 63, если первый член уменьшить на 8, второй увеличить на 8, а 3 увеличить на 3 то получится арифмитическая прогрессия. Найдите третий член этой последовательности

Пусть а, b и с - три числа о которых идёт речь в задании. Поскольку эти числа являются тремя членами убывающей геометрической прогрессии, то, во-первых, а > b > с, во-вторых, b : a = c : b. Кроме того, сумма этих чисел равна 63, то есть, а + b + с = 63. По условиям задания, три числа а - 8, b + 8 и с + 3 образуют арифметическую прогрессию. Тогда, согласно характеристического свойства арифметической прогрессии, справедливо равенство а - 8 + с + 3 = 2 * (b + 8) или а + с = 2 * b + 21. Учитывая последние равенства предыдущих двух пунктов, получим b + 2 * b + 21 = 63 или 3 * b = 63 - 21, откуда b = 42 : 3 = 14. Тогда, пропорция из п. 1 примет вид 14 : а = с: 14 и основное свойство пропорции позволит утвердить, что а * с = 14 * 14 = 196. Используя последнее равенство предыдущего пункта, получим: а + с = 2 * 14 + 21 = 49. Итак, имеем два равенства: а + с = 49 и а * с = 196. Согласно теореме Виета, числа а и с можно рассматривать как два корня квадратного уравнения х² - 49 * х + 196 = 0. Решим это уравнение. Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = (-49) ² - 4 * 1 * 196 = 2401 - 784 = 1617. Так как дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня: x₁ = (49 - √ (1617)) / (2 * 1) = 24,5 - 0,5√ (1617) и x₂ = (49 + √ (1617)) / (2 * 1) = 24,5 + 0,5√ (1617). Учитывая двойное неравенство из п. 1, окончательно утверждаем, что искомый третий член данной последовательности равно 24,5 - 0,5√ (1617).

Ответ: 24,5 - 0,5√ (1617).