Подряд написаны числа 1,2,3,4,5,6,7,8,9, ...,2010. Первое, третье пятое, и т. д. по порядку вычеркивают. Из оставшихся 1000 чисел снова вычеркивают первое, третье, пятое и т. д. Так делают пока не останется одно число. Какое это число?

1. После первого вычеркивания чисел в нечетных позициях, т. е. самих нечетных чисел, останутся только четные числа от 2 до 2010, всего 1005 чисел.

2. После второго вычеркивания 1000 из этих 1005 чисел останутся числа от 4 до 2000, кратные 4. После третьего вычеркивания - числа, которые делятся на 8, и т. д.

3. Таким образом, после n вычеркиваний останутся числа, которые делятся на 2^n, а после 10 таких вычеркиваний останется единственное число, содержащее 10 двоек, т. е. число 2^10 = 1024.

Ответ: 1024.