Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: у = е^2x-3e^x+x+4

Находим производную функции:

y' = (e^ (2x) - 3e^ (x) + x + 4) ' = 2e^ (2x) - 3e^x + 1.

Приравниваем ее нулю т находим экстремальные точки:

2e^ (2x) - 3e^x + 1 = 0.

Произведем замену переменных t = e^x, получим:

2t^2 - 3t + 1 = 0.

Корни квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 определяются по формуле: x12 = (-b + - √ (b^2 - 4 * a * c) / 2 * a.

t12 = (3 + - √ (9 - 4 * 2 * 1)) / 2 * 2 = (3 + - 1) / 4;

t1 = (3 - 1) / 4 = 1/2; t2 = (3 + 1) / 4 = 1.

Тогда:

e^ (x) = 1/2;

x1 = ln (1/2).

e^x = 1;

x2 = ln (1) = 0.