Периметр прямоугольного треугольника равен 90 см, а его площадь равно 270 см^2. Найдите длины сторон треугольника (системой)

Известно, что периметр прямоугольного треугольника П = 90 см, а площадь S = 270 см².

Необходимо вычислить все стороны треугольника.

Запишем формулы периметра и площади для прямоугольного треугольника, у которого катеты А и В, а С - гипотенуза.

С² = А² + В².

П = А + В + С, откуда следует (А + В) = 90 - С.

S = ½ * А * В, откуда получаем АВ = 540 см².

Преобразуем первое уравнение.

С² = А² + 2 АВ + В² - 2 АВ.

С² = (А + В) ² - 2 АВ.

Подставим значения.

С² = (90 - С) ² - 2 * 540.

С² = 8100 - 180 С + С² - 1080.

180 С = 7020.

С = 39.

Тогда получается, что гипотенуза треугольника равна 39 см.

А + В = 90 - С = 90 - 39 = 51.

1) А + В = 51.

2) АВ = 540.

Возведем в квадрат первое уравнение и вычтем из него учетверенное значение второго уравнения.

(А + В) ² - 4 АВ = 51² - 4 * 540.

А² + 2 АВ + В² - 4 АВ = 2601 - 2160.

(А - В) ² = 21².

А - В = 21.

А + В = 51.

Сложим оба уравнения.

2 А = 72.

А = 36.

В = 51 - А.

В = 51 - 36.

В = 15.

Таким образом, длины катетов треугольника составили 15 см и 36 см.

Ответ: стороны треугольника 15 см, 36 см, 39 см.