Найти сумму четырех первых членов геометрической прогрессии, такой что её первые три члена, сумма которых равна 148/9 являются одновременно первым, четвёртым и восьмым членами арифметической прогрессии

1. Заданы геометрическая прогрессия G (n) и арифметическая прогрессия C (m), у которых определены свойства их членов:

S3 = G1 + G2 + G3 = 148/9;

G1 = C1;

G2 = C4 = C1 + 3 * D;

G3 = C8 = C1 + 7 * D;

2. Первое уравнение:

S3 = C1 + (C1 + 3 * D) + (C1 + 7 * D) =

3 * C1 + 10 * D = 148/9;

3. Второе уравнение составим из соотношения членов прогрессии G (n):

G2^2 = G1 * G3;

(C1 + 3 * D) ^2 = C1 * (C1 + 7 * D);

C1^2 + 6 * C1 * D + 9 * D^2 = C1^2 + 7 * C1 * D;

C1 * D = 9 * D2;

C1 = 9 * D;

4. Подставляем (C1) в первое уравнение:

3 * C1 + 10 * D = 3 * (9 * D) + 10 * D = 37 * D = 148/9;

D = (148/9) / 37 = 4/9;

C1 = 9 * D = 9 * (4/9) = 4;

5. Определим члены геометрической прогрессии:

G1 = C1 = 4;

G2 = C4 = C1 + 3 * D = 4 + 3 * (4/9) = 16/3;

6. Знаменатель прогрессии G (n):

q = G2 / G1 = (16/3) / 4 = 4/3;

7. Четвертый член прогрессии G (n):

G4 = G1 * q^3 = 4 * (4/3) ^3 = 64/27;

8. Искомая сумма: S4;

S4 = S3 + G4 = 148/9 + 64/27 = (3 * 148 + 64) / 27 = 508/27.

Ответ: S4 = 508/27.