Могут ли стороны прямоугольного треугольника иметь такие длины, которые выражаются нечетными натуральными числами?

Ответ: нет не могут.

Понятие четности или нечетности применимо только к натуральны, то есть целым числам или значениям. Оно означает, можно ли число разделить без остатка на 2.

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике значение квадрата гипотенузы равно сумме значений квадратов катетов.

Если катеты выражены нечетным значением, то значение их квадратов будут также нечетными, поскольку при перемножении нечетных чисел всегда получается нечетное произведение.

Сумма же двух нечетных чисел всегда будет четной, а значит и значение квадрата гипотенузы также должно быть четным, что невозможно, потому что это квадрат также нечетного значения. При извлечении корня мы не сможем получить значение гипотенузы в виде натурального числа.